Немного арифметики

[macroevolution]

 Какой длины должен быть текст, состоящий из букв русского алфавита, чтобы возможных текстов такой длины было больше, чем элементарных частиц во вселенной?
(под "текстом" имеется в виду любая произвольная последовательность букв).

Букв 33; элементарных частиц во вселенной, если не ошибаюсь, где-то около 10^80. 

33 в степени 53 уже превышает это число.
Таким образом, достаточно всего лишь 53 букв: это меньше, чем стандартная строка в вордовском документе.

Написали неполную строчку текста - и уже каким-то непонятным образом соприкоснулись с вселенскими масштабами.
Строчка - вселенная, страничка - уже мультиверс.
Я вот накатал двухтомник на полтора миллиона знаков. Сколько двухтомников такого размера существует в Вавилонской библиотеке Борхеса?  Примерно 10 в степени 2250000 (число из двух с четвертью миллионов цифр). Вселенная отдыхает :)

 

Comments

[liartar.livejournal.com]

:)

[dims12.livejournal.com]

Существуют такие частицы (бозоны), количество которых может быть неопределённым. Не большим, не маленьким, а неопределённым.

[leolion-1.livejournal.com]

Тексты такой длины осмысленно соприкасаются с вселенскими масштабами разве что у Кнышева с Губерманом. Но любителям Твиттера Вы сейчас определенно потрафили:)

Поздравляю с окончанием работ, всю библиотеку Борхеса мы, конечно, не осилим, но на Ваш двухтомник нас (заинтересованной общественности) должно хватить:)

[error-lapsus.livejournal.com]

Сейчас придёт какой-нибудь креационист и скажет: "Вот!". А далее - энное количество слов, по осмысленности приближающееся к случайному набору букв...

[macroevolution.livejournal.com]

На этот случай есть замечательный фрагмент из "Слепого часовщика" Докинза.

Я не знаю, кто сказал первым, что при наличии достаточного времени, обезьяна, беспорядочно стучащая по клавишам пишушей машинки, смогла бы когда-нибудь напечатать все произведения Шекспира. Ключевая фраза здесь, конечно "при наличии достаточного времени". Давайте несколько сузим задачу, стоящую перед нашей обезьяной. Предположим, что ей нужно воспроизвести не все произведения Шекспира, а только короткое предложение "Methinks it is like a weasel" ("Сдаётся мне, что оно похоже на горностая"), и облегчим её работу, предоставив ей пишущую машинку с клавиатурой, состоящей только из 26 букв (заглавных), и клавиши пробела. Сколько времени ей потребуется, чтобы написать это небольшое предложение?
Предложение состоит из 28 символов, так что давайте предположим, что обезьяна будет производить серию попыток, состоящих из 28 ударов по клавиатуре. Если она напечатает фразу правильно, то это будет окончанием эксперимента. Если нет, то мы предоставляем ей другую 28-символьную "попытку". У меня нет знакомых обезьян, но к счастью, моя 11-месячная дочь - опытный генератор случайных символов, она лишь продемонстрировала слишком большое нетерпение, чтобы продвигаться в работе обезьяны-машинистки поэтапно. Вот что она напечатала на компьютере:

UMMK JK CDZZ F ZD DSDSKSM
S SS FMCV PU I DDRGLKDXRRDO
RDTE QDWFDVIOY UDSKZWDCCVYT
H CHVY NMGNBAYTDFCCVD D
RCDFYYYRM N DFSKD LD K WDWK
JJKAUIZMZI UXDKIDISFUMDKUDXI

Поскольку у дочери есть другие важные дела, то роль такой машинистки я поручил компьютерной программе, имитирующей беспорядочно печатающего младенца или обезьяну:

WDLDMNLTDTJBKWIRZREZLMQCO P
Y YVMQKZPGJXWVHGLAWFVCHQYOPY
MWR SWTNUXMLCDLEUBXTQHNZVJQF
FU OVAODVYKDGXDEKYVMOGGS VT
HZQZDSFZIHIVPHZPETPWVOVPMZGF
GEWRGZRPBCTPGQMCKHFDBGW ZCCF

И так далее в том же духе. Несложно подсчитать, как долго нам придётся ждать, пока генератор случайных символов (младенец или обезьяна) напечатают "METHINKS IT IS LIKE A WEASEL". Оценим общее количества возможных фраз заданной длины, которые обезьяна, младенец или генератор случайных символов могли бы напечатать. Вычисления будут теми же самыми, какие мы делали для гемоглобина, и приведут к аналогично большому результат. На первой позиции этой строки возможно 27 возможных символов (включая символ пробела). Шанс, что обезьяна, напечатает букву "M" прямо следует из количества символов - 1 из 27. Шанс, что вторая буква будет "E" аналогичен шансу, что первая буква будет "M", а шанс, что первые две буквы будут "ME" равен их произведению 1/27 × 1/27, что даст 1/729. Шанс на то, что первое слово будет "METHINKS" - это шанс на появление каждой буквы на своём месте - 1/27 для каждой, итого (1/27) × (1/27) × (1/27) × (1/27) ..., и так далее 8 раз, то есть (1/27) в степени 8. Шанс на получение всей этой фразы из 28 символов, есть (1/27) в степени 28, то есть (1/27) умножимое само на себя 28 раз. Это очень маленький шанс, примерно 1 из 10000 миллионов миллионов миллионов миллионов миллионов миллионов. Искомую фразу, таким образом, придётся ждать, мягко говоря, долго, не говоря уж о всех произведениях Шекспира.

[error-lapsus.livejournal.com]

Чем меня ещё со школы поражала комбинаторика - так это огромным количеством вариантов почти чего угодно :)

[bsivko.livejournal.com]

– Форд! – выговорил он, – там, снаружи, бесконечно много обезьян.
И они хотят обсудить с нами «Гамлета», который у них получился.

Дуглас Адамс, «Путеводитель Автостопщика по Галактике».

[myvj.livejournal.com]

Смущает только одно, что его 11-ти месячная дочь задействовала всю клавиатуру, с хорошим чередованием букв. Когда моему сыну было 11-ти он просто нажимал двумя руками на клаву и радостно смотрел что получается.
Получалось скорее так: ESCRSDKLMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

[macroevolution.livejournal.com]

ПРОДОЛЖЕНИЕ
Так долго получается в случае одноразового отбора случайной вариации. Теперь рассмотрим нарастающий отбор - насколько он будет эффективнее? Очень и очень намного! Гораздо эффективнее, чем мы возможно себе представляем в первый момент, хотя это почти очевидно, если мы подумаем над этим чуть более. Мы снова используем нашу компьютерную обезьяну, но внесём критическое изменение в программу. Она, как и раньше, снова начинает, выбирая случайную последовательность из 28 букв:

WDLMNLT DTJBKWIRZREZLMQCO P

Однако теперь она "размножает" эту случайную фразу. Она реплицирует её неоднократно, но с некоторой вероятностью случайной ошибки - "мутации" при копировании. Компьютер исследует мутировавшую бессмысленную фразу, "потомка" первоначальной, и выбирает ту, которая более всего (хотя бы чуть-чуть) походит на нашу искомую фразу, "METHINKS IT IS LIKE A WEASEL". В данном случае, в следующем поколении победила такая фраза:

WDLTMNLT DTJBSWIRZREZLMQCO P

Улучшение неочевидное! Но процедура повторилась, и снова мутировавший "потомок" "вывелся" от последней фразы, и отобран новый "победитель". И так поколение за поколением. После 10 поколений, фраза, выбранная на роль "производителя" была такой:

MDLDMNLS ITJISWHRZREZ MECS P

А вот что было после 20 поколений:

MELDINLS IT ISWPRKE Z WECSEL

А вот здесь глаз уже не может не заметить некоторого подобия искомой фразе. В 30-м поколении в подобии можно уже не сомневаться:

METHINGS IT ISWLIKE B WECSEL

На 40-м поколении - мы в одной букве от цели:

METHINKS IT IS LIKE I WEASEL

И вот цель наконец достигнута в 43-м поколении.
Второй прогон компьютер начал с фразы:

Y YVMQKZPFJXWVHGLAWFVCHQXYOPY

Результаты прогона были таковы (снова приводится только каждое десятое поколение):

Y YVMQKSPFTXWSHLIKEFV HQYSPY
YETHINKSPITXISHLIKEFA WQYSEY
METHINKS IT ISSLIKE A WEFSEY
METHINKS IT ISBLIKE A WEASES
METHINKS IT ISJLIKE A WEASEO
METHINKS IT IS LIKE A WEASEP

И конечная цель достигнута в поколении 64. Третий прогон компьютер начал с фразы:

GEWRGZRPBCTPGQMCKHFDBGW ZCCF

И достиг "METHINKS IT IS LIKE A WEASEL" в 41-м поколении селективного "размножения".
Точное время, затраченное компьютером на достижение цели, значения не имеет. Но если вы настаиваете, то он закончил весь первый прогон за время, пока я завтракал - то есть, примерно полчаса. (Энтузиасты-компьютерщики могут счесть, что это неправдоподобно долго. Но дело в том, что программа была написана на БЕЙСИКЕ - это язык программирования для младенцев. Когда я переписал её на Паскаль, то она стала выполняться за 11 секунд). Компьютеры в этих делах несколько быстрее обезьян, но разница действительно не имеет значения. Значение имеет разница между временем нарастающей селекции, и временем, потребным тому же самому компьютеру, работающему с той же скоростью, на достижение целевой фразы, если мы заставим его использовать другую процедуру - процедуру одноразового отбора: это примерно миллион миллионов миллионов миллионов миллионов лет. Это в миллион миллионов миллионов раз больше времени существования Вселенной. Фактически разумнее говорить, что в сравнении с временем, потребным, неважно кому - хоть обезьяне, хоть компьютерному генератору случайных символов, для генерации нашей целевой фразы, возраст вселенной - столь ничтожная величина, что на практике утонет в погрешностях данного рода вычислений. В то же время, компьютерному генератору случайных символов, но работающему по алгоритму нарастающего выбора, для выполнения той же самой задачи потребуется совершенно обозримое время - от 11 секунд до длительности спокойного завтрака.

[gegmopo4.livejournal.com]

Докинз очень неряшливо пишет. И математическая подготовка у него не очень. Так и здесь он взял очень плохой пример для демонстрации эволюция, выбрав в качестве критерия отбора близость к заранее известной цели. Понятно, что это льёт воду на мельницу креационистов.

Вот если бы он построил таблицу вероятности появления буквы в зависимости от соседей (построенную на анализе ПСС Шекспира, можно упростить и огрубить), зафиксировал бы начальную и конечную букву, и начал бы случайно менять по букве в соответствии с таблицей, то через определённое количество итераций (скорее намного большее, но не чрезмерно) мог бы получить эту фразу или похожую. Или другую фразу из Шекспира. И это было бы ближе к настоящему природному отбору.

[macroevolution.livejournal.com]

ОКОНЧАНИЕ
Различие между нарастающим отбором (при котором каждое улучшение, пусть небольшое, используется как фундамент для будущей постройки), и одноразовым выбором (при котором каждая новая "попытка" делается "с нуля"), просто неимоверно огромно. Если бы эволюционный прогресс полагался на одноразовый отбор, то он никогда и нигде не имел бы места. Однако, если где-нибудь и как-нибудь слепые силы природы создадут условия для нарастающего отбора, то необыкновенные и удивительные последствия не заставят себя ждать. Собственно говоря, именно это и произошло на нашей планете, и мы с вами - одно из новейших, и может быть - самое необыкновенное и удивительное из этих последствий. Просто поразительно, как можно всё ещё полагать вычисления, вроде наших вычислений "числа гемоглобина" аргументами против теории Дарвина. Люди, так полагающие, часто эксперты в своей сфере - астрономии или где-то ещё, похоже, вполне искренне полагают, что дарвинизм объясняет организацию живой материи в терминах "спонтанности" - одного только "одноразового отбора". Вера в то, что дарвиновская эволюция "спонтанна", не просто ложна. Это точная антитеза правды. Случай - второстепенный компонент в дарвиновском рецепте, главнейший же - нарастающий отбор, который принципиально неслучаен.

[error-lapsus.livejournal.com]

Про нарастающий отбор очень интересно. Особенно про разницу в порядках со случайным перебором. Видимо, та же причина, по которой шахматные партии не длятся миллиарды лет, а кончаются в несколько десятков, а то и в несколько ходов.

[artemn.livejournal.com]

Данный отрывок из Докинза предполагает, что у эволюции есть "цель". Что, очевидно, не так...

[nikola-borisov.livejournal.com]

Да, знаменитому разделу "Рассказы о числах-великанах" знаменитой книжки Перельмана "Занимательная математика" не хватает главки, ну скажем, такой: "Естественный отбор - победитель великанов". Любопытно, что хотя и комбинаторика, и теория естественного отбора были хорошо известны уже давно (во всяком случае, во времена Перельмана ученые так же хорошо знали комбинаторику и так же мало сомневались в роли естественного отбора в эволюции, как и в наши дне), идея связать одно с другим пришла в голову в явном виде только во второй половине прошлого века. Во всяком случае, именно Эйген назвал в нобелевской речи Дарвина "великим физиком". И математиком тоже, хочется добавить. Подробнее - см. мою статейку "Эволюция, случайность, энтропия".

[pashkin-elfe.livejournal.com]

Очень хороший простой и наглядный пример "блочной" нарастающей эволюции.

[d-marakas.livejournal.com]

> "Случай - второстепенный компонент в дарвиновском рецепте..". Тогда встает вопрос о реальности механизма эволюции - мутации.

[wim-winter.livejournal.com]

Ну, строго говоря пример не арифметический, а скорее комбинаторный.

[macroevolution.livejournal.com]

Я знаю, а слово "арифметика" употребил нарочно, чтобы не создавать впечатления, что я считаю себя крутым математиком )

[cage-of-freedom.livejournal.com]

Ну и что это?

Очередное подтверждение того, что "В НАЧАЛЕ БЫЛО СЛОВО"? :)

И даже слово вполне конечной длины :)

[zwilling.livejournal.com]

Какие только русские тексты, где упоминается хоть какое-нибудь "слово", не примерили к греческому космическому Логосу. :)

[bsivko.livejournal.com]

>элементарных частиц во вселенной?

полагаю что известных элементарных частиц видимой части Вселенной

[rsokolov.livejournal.com]

Каков должен быть размер российского бюджета, чтобы заказу на госзакупку имело смысл присваивать номер 0173100011511000028 (http://www.lenta.ru/news/2011/04/16/regular/)?

Re: cool:)

[macroevolution.livejournal.com]

На здоровье. Разве кто-нибудь бывает против?

[d-marakas.livejournal.com]

Ну конечно, числа- то ведь меньше по размеру чем элементарные частицы. Вселенная - [-oo;+оо] ^ [-oo;+оо] )))