Я тоже подумал над составлением уравнения и, кажется, понял его логику. На всякий случай, изложу её здесь (вдруг, у кого-нибудь ещё такой вопрос возникнет, и он здесь прочитает). Мой вариант немного отличается от Вашего: мне понятнее составлять правую часть не в виде сомножителей, а в виде слагаемых (а потом можно общий множитель вынести за скобки). И я буду рассматривать не относительные частоты (q), а абсолютные значения оставляемых потомков, как в статье в Википедии "Логистическое уравнение".
Пусть N - количество особей в популяции в данный момент, r - скорость размножения (количество потомков, оставляемых одной особью за единицу времени), K - максимально возможная численность популяции (ёмкость).
Тогда прирост численности популяции за время dt составит dN = rN dt.
Но ведь особи не только рождаются, но и умирают. Поэтому должно быть второе слагаемое, отрицательное, описывающее убыль численности вследствие вымирания за время dt. Это слагаемое должно быть пропорционально rN, потому что чем больше родится особей, тем большему числу их придётся вымереть (поскольку ёмкость популяции ограничена).
Но вымрут не все родившиеся особи, а только часть, поэтому это число должно быть умножено на некий коэффициент, который меньше единицы. Этот коэффициент равен N/K, т.е. он пропорционален численности популяции в настоящий момент и обратно пропорционален ёмкости. В первом предельном случае, когда K стремится к бесконечности, он равен нулю. Это означает, что никто не умрёт. Поскольку ёмкость популяции бесконечна, то выжить смогут все и численность популяции только прирастает за счёт родившихся потомков (и растёт по экспоненте). Во втором предельном случае, когда N=K, этот коэффициент равен единице. Поэтому число вымерших особей за время dt равно rN dt – числу родившихся особей за это же время. Поскольку численность популяции достигла "потолка", то сколько особей родится в следующем поколении, столько и умрёт, и прирост равен нулю: dN=0.
Итак, теперь можно составить уравнение, разделив левую и правую части на dt:
dN/dt = rN – rN*N/K
(первое слагаемое описывает прирост, второе – убыль из-за вымирания части особей).
Или, вынося rN за скобки, получаем:
dN/dt = rN (1–N/K).
Далее можно перейти к относительному числу особей, разделив обе части на K (q=N/K):
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2014-05-01 06:18 pm (UTC)Я тоже подумал над составлением уравнения и, кажется, понял его логику. На всякий случай, изложу её здесь (вдруг, у кого-нибудь ещё такой вопрос возникнет, и он здесь прочитает). Мой вариант немного отличается от Вашего: мне понятнее составлять правую часть не в виде сомножителей, а в виде слагаемых (а потом можно общий множитель вынести за скобки). И я буду рассматривать не относительные частоты (q), а абсолютные значения оставляемых потомков, как в статье в Википедии "Логистическое уравнение".
Пусть N - количество особей в популяции в данный момент, r - скорость размножения (количество потомков, оставляемых одной особью за единицу времени), K - максимально возможная численность популяции (ёмкость).
Тогда прирост численности популяции за время dt составит dN = rN dt.
Но ведь особи не только рождаются, но и умирают. Поэтому должно быть второе слагаемое, отрицательное, описывающее убыль численности вследствие вымирания за время dt. Это слагаемое должно быть пропорционально rN, потому что чем больше родится особей, тем большему числу их придётся вымереть (поскольку ёмкость популяции ограничена).
Но вымрут не все родившиеся особи, а только часть, поэтому это число должно быть умножено на некий коэффициент, который меньше единицы. Этот коэффициент равен N/K, т.е. он пропорционален численности популяции в настоящий момент и обратно пропорционален ёмкости.
В первом предельном случае, когда K стремится к бесконечности, он равен нулю. Это означает, что никто не умрёт. Поскольку ёмкость популяции бесконечна, то выжить смогут все и численность популяции только прирастает за счёт родившихся потомков (и растёт по экспоненте).
Во втором предельном случае, когда N=K, этот коэффициент равен единице. Поэтому число вымерших особей за время dt равно rN dt – числу родившихся особей за это же время. Поскольку численность популяции достигла "потолка", то сколько особей родится в следующем поколении, столько и умрёт, и прирост равен нулю: dN=0.
Итак, теперь можно составить уравнение, разделив левую и правую части на dt:
dN/dt = rN – rN*N/K
(первое слагаемое описывает прирост, второе – убыль из-за вымирания части особей).
Или, вынося rN за скобки, получаем:
dN/dt = rN (1–N/K).
Далее можно перейти к относительному числу особей, разделив обе части на K (q=N/K):
dq/dt = rq (1–q).
Вот и получилось то же самое уравнение.