macroevolution

Сейчас я рассмотрю второй пример, где, на мой взгляд, "бесконечность" являет себя уже несколько в другом "обличье".

Рассмотрим какое-нибудь утверждение вида "для любого x существует y такой, что P(x,y)", где P есть некое свойство, легко проверяемое для "константных" значений. Попробуем понять, какой у него смысл. Представим себе некое "устройство", которое последовательно рассматривает случаи x=1, x=2, ... и так далее. При каждом фиксированном значении x оно пытается подобрать такое y, для которого P(x,y) будет верно. Для каждого отдельно взятого x, возможно два случая: подходящее значение y либо есть, либо его нет. Если его нет, то в общем случае нужно перебрать все y и убедиться, что ни одно из них нет подходит. Это бесконечный процесс, причём бесконечный именно "актуально": пока он не завершился, "устройство" не сможет сделать никакого вывода. Я специально подчёркиваю, что речь об "общем случае": понятно, что для каких-то просто устроенных свойств наподобие x=y этот вопрос может решаться легко, но нет никакой гарантии, что все свойства таковы.

Так вот, осталось рассмотреть второй случай, когда для фиксированного x найдётся такое y, при котором P(x,y). Тогда "устройство" его найдёт "за конечное время". Если так будет для каждого x, то рассмотренное выше утверждение является истинным, но убедиться в этом можно будет не раньше, чем завершится опять-таки бесконечный процесс пеербора всех значений x.

О чём говорит этот пример? На мой взгляд, о том, что на уровне самих формулировок, если мы хотим как-то трактовать истинность арифметических формул, избежать привлечения "актуальной бесконечности" очень трудно (на самом деле даже невозможно в каком-то смысле, но об этом ниже). Для меня здесь важно то, что нам приходится представлять себе в ходе этой деятельности что-то, чего нет в нашем непосредственном опыте. То есть как бы "выходить за пределы себя", хотя я на таком образе и не настаиваю. Кто-то может, проанализировав этот пример в деталях, сделать для себя вывод, что "Бог" (пусть в виде "актуальной бесконечности") в каком-то смысле "существует". Как минимум, нам приходится мыслить что-то именно такого уровня. Разумеется, это не есть Бог "церковников", но мы ведь с самого начала не о нём и говорим. У меня в первом же комменте с самого начала говорилось лишь о философской идее.

Далее, вот Вы указали некие страницы из книги ван дер Вардена (я думаю, "скан" можно было и не воспроизводить). Это очень хорошо, потому что позволяет провести ещё одну мысль. Вы говорите о том, что принцип индукции -- это "вполне себе аксиома". Но что это значит? Вы ведь не хотите сказать, что раз он подан в качестве таковой в "респектабельном" учебнике, то этого во всех смыслах достаточно? Учебники пишутся людьми, а не "богами", и мы вправе задуматься о том, какие соображения ими руководили. То есть почему они решили принять за "аксиому" то или иное положение. Я сразу скажу, к чему я "клоню": если мы начнём этот вопрос "расследовать", то снова возникнет та самая "бесконечность", о которой я говорил.

Прежде всего, даже если идти "по минимуму", и не ставить вопрос об "истинности" принципа, а говорить лишь в рамках доказуемости, то возникает вопрос о том, почему взятые за аксиомы положения не могут привести к логическому противоречию. Вы навернка в курсе того, что этот вопрос разрешается не столь тривиально, и "финитными" методами, то есть при работе только с "конечным" он вообще не может быть разрешён. Это следствие широко известной "второй теоремы Гёделя о неполноте".

Please do no reply to this section!