Ясно, что никакой человек не досчитывал на практике, например, до миллиарда (в столетии менее 4 миллиардов секунд). И что же мы делаем, когда принимаем эту самую гипотезу потенциальной осуществимости? С моей точки зрения -- если Вам непременно нужно добавление "имхо" -- мы вместо себя рассматриваем некое "совершенное" существо, не ограниченное ни временными, ни пространственными, ни прочими ресурсами. Мы нигде такого существа не встречали в реальности, и среди компьютеров также не бывает "вечно живущих". Но мы способны хотя бы "мысленно" представить себе бесконечный процесс рассуждений типа
P(1) P(1) => P(2) P(2) P(2) => P(3) P(3) ...
и только на основании этого, "разворачивая" этот текст бесконечной длины, мы как бы "видим", что в нём будут встречаться утверждения вида P(n) для всех без исключения натуральных n, то есть все они оказываются истинными.
Таким образом, без представления того, чего на самом деле не бывает в окружающей нас реальности, мы не можем обосновать истинность столь привычного для нас метода как ММИ.
Если у Вас есть какой-то способ обоснования этого метода, не опирающийся на бесконечные процессы, то я готов с ним ознакомиться, "оздоровив" тем самым своё "воображение" :)
> остаток от деления простого числа на 4 равен либо 1, либо 3?
Тут Вы забыли оговорить, что берётся простое число, не равное двум, но это мелочь. Давайте сейчас проанализируем чуть более подробно этот вполне "школьный" пример. Стандартное решение основано на том, что всякое натуральное число представляется в виде 4k+r, где k -- целое, и r принимает значения 0, 1, 2, 3. Такого рода утверждения обычно разрешается использовать как нечто "известное", и именно так рассуждают школьники, например, на олимпиадах. Но давайте задумаемся над тем, а как доказывается само это утверждение? Там ведь для обоснования требуется применить всё тот же метод математической индукции. То есть мы именно так проверяем, что утверждение о представимость числа n в виде 4k+r верно для ВСЕХ натуральных чисел, и только потом уже происходит "отсев" случаев 4k и 4k+2.
То есть и этот пример возвращает нас ко всё той же конструкции, которая при попытке обоснования "разворачивается в бесконечность".
Более того, Васм может удивить тот факт, что даже сами операции сложения и умножения для всех чисел, если их определять на основе аксиом арифметики Пеано, требуют такого приёма как "определение по индукции". Школьники-то используют это всё как "готовенькое", а на самом деле все арифметически законы типа a+b=b+a или ab=ba (последнее особенно нетривиально) строго доказываются на основании аксиом и определений, а не берутся "из воздуха".
Мне кажется, Вы просто никогда не "копали" глубже обычного школьного уровня, то есть не интересовались проблемами оснований математики. Именно поэтому Вам многие вещи кажутся "странными". Но они совсем не странные: для школьника утверждение 2x2=4 есть что-то совсем простое, а для школьника постарше таковым может являеться и метод математической индукции. Но с точки зрения оснований математики, где все детали принято "прорабатывать" и обращать внимание на то, а откуда все эти "плоды" берутся, и на каком "древе" они произрастают -- всё выглядит уже далеко не так просто.
И, наконец, по поводу "пропаганды": я здесь начал с вопроса, обращённого к уважаемому хозяину журнала. Я спросил, признаёт ли он идею Бога на уровне хотя бы философском. Вот Вы, насколько я понимаю, не хотите её принять даже на таком уровне. В то время как Ричард Докинз в своём известном антирелигиозном сочинении прямо заявлял, что на таком уровне идею признаёт даже он. Не являясь при этом, насколько мне известно, "тайным" выпускником какой-либо "семинарии" :)
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
индукция (2)
Date: 2010-06-27 12:02 pm (UTC)P(1)
P(1) => P(2)
P(2)
P(2) => P(3)
P(3)
...
и только на основании этого, "разворачивая" этот текст бесконечной длины, мы как бы "видим", что в нём будут встречаться утверждения вида P(n) для всех без исключения натуральных n, то есть все они оказываются истинными.
Таким образом, без представления того, чего на самом деле не бывает в окружающей нас реальности, мы не можем обосновать истинность столь привычного для нас метода как ММИ.
Если у Вас есть какой-то способ обоснования этого метода, не опирающийся на бесконечные процессы, то я готов с ним ознакомиться, "оздоровив" тем самым своё "воображение" :)
> остаток от деления простого числа на 4 равен либо 1, либо 3?
Тут Вы забыли оговорить, что берётся простое число, не равное двум, но это мелочь. Давайте сейчас проанализируем чуть более подробно этот вполне "школьный" пример. Стандартное решение основано на том, что всякое натуральное число представляется в виде 4k+r, где k -- целое, и r принимает значения 0, 1, 2, 3. Такого рода утверждения обычно разрешается использовать как нечто "известное", и именно так рассуждают школьники, например, на олимпиадах. Но давайте задумаемся над тем, а как доказывается само это утверждение? Там ведь для обоснования требуется применить всё тот же метод математической индукции. То есть мы именно так проверяем, что утверждение о представимость числа n в виде 4k+r верно для ВСЕХ натуральных чисел, и только потом уже происходит "отсев" случаев 4k и 4k+2.
То есть и этот пример возвращает нас ко всё той же конструкции, которая при попытке обоснования "разворачивается в бесконечность".
Более того, Васм может удивить тот факт, что даже сами операции сложения и умножения для всех чисел, если их определять на основе аксиом арифметики Пеано, требуют такого приёма как "определение по индукции". Школьники-то используют это всё как "готовенькое", а на самом деле все арифметически законы типа a+b=b+a или ab=ba (последнее особенно нетривиально) строго доказываются на основании аксиом и определений, а не берутся "из воздуха".
Мне кажется, Вы просто никогда не "копали" глубже обычного школьного уровня, то есть не интересовались проблемами оснований математики. Именно поэтому Вам многие вещи кажутся "странными". Но они совсем не странные: для школьника утверждение 2x2=4 есть что-то совсем простое, а для школьника постарше таковым может являеться и метод математической индукции. Но с точки зрения оснований математики, где все детали принято "прорабатывать" и обращать внимание на то, а откуда все эти "плоды" берутся, и на каком "древе" они произрастают -- всё выглядит уже далеко не так просто.
И, наконец, по поводу "пропаганды": я здесь начал с вопроса, обращённого к уважаемому хозяину журнала. Я спросил, признаёт ли он идею Бога на уровне хотя бы философском. Вот Вы, насколько я понимаю, не хотите её принять даже на таком уровне. В то время как Ричард Докинз в своём известном антирелигиозном сочинении прямо заявлял, что на таком уровне идею признаёт даже он. Не являясь при этом, насколько мне известно, "тайным" выпускником какой-либо "семинарии" :)