Я хотел бы начать с одного "организационного" момента: со мной можно разговаривать либо вежливо, либо никак. Если Вы не верите мне даже в такой "малости" как то, что я -- о какое достижение! -- окончил мехмат МГУ, то Вам со мной разговаривать вряд ли имеет смысл. Думаю, что Вы какое-то представление о математике имеете, и Вам не составит труда отличить человека, разбирающегося в этом предмете, от человека, в этом не разбирающегося даже по репликам в этой ветке. Или можно зайти в мой журнал и посмотреть посты на математические темы. Если после этого у Вас по-прежнему останутся подозрения, что "я лгу", то это уже не моя проблема. В ЖЖ люди выступают анонимно, и присылать "пспортные данные" я никому не намерен. Если человек считает нужным мне верить -- он верит, а если нет, то нет. Тут как бы полная свобода.
По поводу ММИ: я окончил школу в 1979 году, и метод математической индукции входил в колмогоровский учебник "Алгебра и начал анализа" за 9 класс. Ясно, что на мехмате никто не занимался "изучением" вещей школьного уровня. Их применяют (как и таблицу умножения), но изучают всё-таки вещи более высокого уровня.
Замечу ещё, что такие темы как "индукция" и "комбинаторика" из школьной программы потом изъяли, поэтому далее во многих вузах стали эти вещи изучать в рамках вводного курса математики. В частности, мне самому приходится "доучивать" в этом смысле поступающих к нам первокурсников.
Я прекрасно понимаю, что когда в ЖЖ разговаривают люди совсем не знакомые между собой, то каждый может подумать о каждом что угодно. Но мне как-то смешно было бы убеждать кого-то в том, что я, например, свободно говорю по-русски :) То же самое с талицей умножения, индукцией и прочим. Так что я к вещам уровня "проверки на вшивость" предпочёл бы более не возвращаться.
Теперь собственно о рассуждениях, проводимых при помощи метода математической индукции. Давайте это дело попытаемся "развернуть", чтобы было понятно, какую мысль я изначально имел в виду.
Чтобы не было каких-то разночтений, давайте зафиксируем саму форму рассуждения. Имеется некоторое свойство P, и требуется доказать, что все натуральные числа им обладают. Для этого разрешается установить два утверждения:
(1) P(1) (2) для всех натуральных k, из P(k) следует P(k+1)
Сам метод можно понимать так: вместо того, чтобы доказывать утверждение "P(n) верно для всех натуральных n", разрешается доказать (1) и (2). Но это как бы взято "из книжки", а книжку писали люди, которые до этого метода когда-то додумались. И вот может возникнуть такая ситуация, когда школьник или первокурсник возьмёт и спросит преподавателя: да, я понимаю сам метод на чисто формальном уровне и умею его применять для рещения задач, но почему он "верен", то есть почему он всегда должен приводить к истинным результатам?
Мне, кстати, попадались вполне реальные люди, перед которыми возникал этот вопрос. И давайте тогда посмотрим, что им можно было бы на это ответить.
Вот мы доказали P(1) в пункте 1. Далее, из пункта 2, который мы тоже доказали, в качестве частного случая мы имеем импликацию P(1) => P(2). Её истинность также установлена. Согласно логическому правилу вывода modus ponens, из утверждений вида A и A=>B вытекает утверждение B. То есть мы доказали P(2). Снова обращаемся к пункту 2 и извлекаем оттуда, что P(2) => P(3), после чего имеем P(3), и так далее.
Так вот, я хочу обратить внимание, что без этого самого "и так далее" сам метод невозможно обосновать. То есть его можно применять на уровне формальной схемы, и с точки зрения "доказуемости" всё будет корректно, но есть ещё уровень "истинности", и тут нужно дополнительное обоснование. А оно неявно предполагает как минимум "гипотезу потенциальной осуществимости", то есть предположение о том, что до любого натурального числа можно "досчитать" хотя бы в принципе.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
индукция (1)
Date: 2010-06-27 12:01 pm (UTC)По поводу ММИ: я окончил школу в 1979 году, и метод математической индукции входил в колмогоровский учебник "Алгебра и начал анализа" за 9 класс. Ясно, что на мехмате никто не занимался "изучением" вещей школьного уровня. Их применяют (как и таблицу умножения), но изучают всё-таки вещи более высокого уровня.
Замечу ещё, что такие темы как "индукция" и "комбинаторика" из школьной программы потом изъяли, поэтому далее во многих вузах стали эти вещи изучать в рамках вводного курса математики. В частности, мне самому приходится "доучивать" в этом смысле поступающих к нам первокурсников.
Я прекрасно понимаю, что когда в ЖЖ разговаривают люди совсем не знакомые между собой, то каждый может подумать о каждом что угодно. Но мне как-то смешно было бы убеждать кого-то в том, что я, например, свободно говорю по-русски :) То же самое с талицей умножения, индукцией и прочим. Так что я к вещам уровня "проверки на вшивость" предпочёл бы более не возвращаться.
Теперь собственно о рассуждениях, проводимых при помощи метода математической индукции. Давайте это дело попытаемся "развернуть", чтобы было понятно, какую мысль я изначально имел в виду.
Чтобы не было каких-то разночтений, давайте зафиксируем саму форму рассуждения. Имеется некоторое свойство P, и требуется доказать, что все натуральные числа им обладают. Для этого разрешается установить два утверждения:
(1) P(1)
(2) для всех натуральных k, из P(k) следует P(k+1)
Сам метод можно понимать так: вместо того, чтобы доказывать утверждение "P(n) верно для всех натуральных n", разрешается доказать (1) и (2). Но это как бы взято "из книжки", а книжку писали люди, которые до этого метода когда-то додумались. И вот может возникнуть такая ситуация, когда школьник или первокурсник возьмёт и спросит преподавателя: да, я понимаю сам метод на чисто формальном уровне и умею его применять для рещения задач, но почему он "верен", то есть почему он всегда должен приводить к истинным результатам?
Мне, кстати, попадались вполне реальные люди, перед которыми возникал этот вопрос. И давайте тогда посмотрим, что им можно было бы на это ответить.
Вот мы доказали P(1) в пункте 1. Далее, из пункта 2, который мы тоже доказали, в качестве частного случая мы имеем импликацию P(1) => P(2). Её истинность также установлена. Согласно логическому правилу вывода modus ponens, из утверждений вида A и A=>B вытекает утверждение B. То есть мы доказали P(2). Снова обращаемся к пункту 2 и извлекаем оттуда, что P(2) => P(3), после чего имеем P(3), и так далее.
Так вот, я хочу обратить внимание, что без этого самого "и так далее" сам метод невозможно обосновать. То есть его можно применять на уровне формальной схемы, и с точки зрения "доказуемости" всё будет корректно, но есть ещё уровень "истинности", и тут нужно дополнительное обоснование. А оно неявно предполагает как минимум "гипотезу потенциальной осуществимости", то есть предположение о том, что до любого натурального числа можно "досчитать" хотя бы в принципе.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ЗДЕСЬ НЕ ОТВЕЧАТЬ!